Макет страницы
и антисимметричную
{Е}* = {Е®Е} = А2. (5.111)
В общем случае какое-либо двумерное представление Е, умноженное само на себя, разлагается на сумму представления симметричной части произведения [E ® E] и представления антисимметричной части произведения {Е®Е}; характеры симметричной части произведения даются выражением
Х1Е® El {r] = I {{%е [r])2 + %е m )( (5. J 12)
а характеры антисимметричной части произведения определяются из выражения
Х1в*в} [R] = I ((хя [/?] )2 _ %е [r2]). (5> J 13)
Характеры симметричной функции n-й степени £ (т. е. симметрия набора п + 1 независимых функций, полученных возведением в степень п пар функций типа E) могут быть получены пз характеров симметричной (п— 1)-й степени E с использованием выражения (E — двумерное представление)
ylef [R] = L (%е [R] %1щп - 1 [r] + %е [/?»] ) _ (5.114)
Пример с п = 3 приведен в конце решения задачи 5.3. В выражениях (5.112)-(5.114) %E[Rn]—число, полученное из характера представления E для операции P = R". Симметричная п-я степень представления используется при определении типа симметрии колебательной волновой функции в гл. 10 [см. (10.33) и (10.35)].
Особенно важное свойство прямого произведения Г неприводимых представлений Tn и Tn состоит в том, что представление Г содержит полносимметричное представление T(s) один раз1), если Г„ = Гот, и вовсе не содержит T(s), если Г„ Ф Тт. Доказать это можно следующим образом. Характер представления Г для операции R согласно (5.92) дается выражением
xr[R] = xT»[R]'rm[R]. (6.115)
Кратность полносимметричного представления в разложении Г определяется согласно (4.43) по формуле
«r(s> = 77 2>Г[Я], (5.116)
_ R
') есть неприводимое представление, матрицы которого D"[R]* являются комплексно-сопряженными матрицами IV Если Гл — неприводимое представление, то Г* также неприводимое представление, причем если Dn[R] действительно, то Tn=Tn.
