Макет страницы
уравнение Шредингера получается в виде
{__й2 г 1 д /„2 д \ 1 д ( .
X 2т2 IR2 dR \к dR)~r #2 sin 0 дв Is1
^(sine^-) +
+ TFiW "4} 0^*' 9> Ф) = &я)&а){Я, в. ф), (7.10)
При выполнении замены координат очень важно знать свойства преобразования дифференциального оператора [вытекающие из равенства членов в квадратных скобках в уравнениях (7.6) и (7.10)] и элемент объема интегрирования [dx = dX dY dZ = = R2 sin 8 dR dQ d<j>]. Для определения преобразования дифференциальных операторов в результате замены координат используется цепное правило [см. формулы (6.8) и (6.9)], а для определения элемента объема интегрирования в новых координатах используются известные формулы (см., например, формулу (5.7) в книге [72]).
Уравнение (7.10) может быть разбито па радиальную (R) и угловую (В, ф) части (см., например, гл. VI в книге [41]), а получаемые при этом уравнения могут быть решены точно. Для разделения переменных в ровибронном уравнении Шредингера для молекулы после замены координат необходимо еще использовать некоторые приближения.
Метод II
Изложенный выше метод получения волнового уравнения для атома водорода в полярных кородинатах состоит в замене координат в уравнении в частных производных. Рассмотрим теперь другой метод (II), согласно которому замена координат проводится в выражении для классического гамильтониана. Этот альтернативный метод используется при выводе колебательно-вращательного гамильтониана многоатомной молекулы (см. гл. 11 книги [121]). Заменяя в классическом выражении для энергии (7.2) координаты (Xi, Yi, Zi1 X2, Y2, Z2) координатами (X0, Y0, Z0, X, Y, Z), получаем
где функции Ф(л) нормированы с помощью интеграла
(7.11)
E =
mi + тг 2
(¾+*¾+¾) + ¾¾ (x2 + y2 + z2)-
(7.12)
(X2 +Y2 + Z2)