Макет страницы
Таблица 8.2
Ненулевые матричные элементы нормальной координаты Q и импульса P для одномерного гармонического осциллятора H
<t»+l|Q|»> = V(» + 1)/(2Y) (v+l\P\v) = ib V(o+l)Y/2
<» — 1 I Q I v) = V»/(2Y) <» — 1 I P I »> = — ih VfY/2
1) p^-ihd/dQ и функции одномерного гармонического осциллятора Ф0 = | »>. Используется величина y=\'/'/h, входящая а гамильтониан одномерного гармонического осциллятора S01=J (РЧ\ОЛ
Задачи 8.5. Определите матричный элемент <Ф4| PQ2 |Фз> для базисных функций гармонического осциллятора Ф3 и Ф4 (с v = 3 и 4 соответственно) из данных табл. 8.2.
Решение. Матричный элемент можно записать в следующем виде:
<Ф41PQ21Ф3) = S <Ф41PI Ф0>(Q0IQ \Ф0>)<Ф0-1QI Фз), (8.184)
v, о'
где использовано правило умножения матриц [см. (4.3)]. Ненулевые матричные элементы PhQ имеют До = ±1, так что эта сумма содержит только три ненулевых члена и
<Ф41PQ21Ф3) = <Ф41PI Ф5> <Ф51QI Ф<> <®41QI Фз) +
+ (Ф*\Р\ Фз) (Фз IQI Ф4> <Ф41QI Фз) +
+ (Ф*\Р\Фз)(Фз IQIФ2)<Ф21QI Фз) =
= [(- ih V5W2) л/Wv V4/2y1 +
+ [(ih V4Y/2) V4/2Y VWI +
+ [(ih УВД УЗ/2^ л/Щу~] = ih (2/y)V\ (8.185)
Гамильтониан гармонического осциллятора для молекулы, согласно формуле (8.28а), равен
+ (8.186)
г
Из результатов этого раздела следует, что собственные функции гамильтониана (8.186) можно записать в виде
Фу = Ф», (Q1) Ф02 (Q2) • • ■ Ф»ЗЛ,-б (Q3^6) =
= ехР [" T Z Y1-Q2J П 4*4 W,). (8-187)
