Макет страницы
Так как правило попарного умножения этих операций определено, можно составить таблицу умножения набора элементов (см. табл. 1.1). Каждый элемент С в ией представляет результат применения сначала операции В из верхней части столбца, а затем операции А из левой части строки: C = AB. Набор операций в (1.45) является фактически группой, поскольку удовлетворяет следующим групповым аксиомам:
Таблица 1.1 Таблица умножения элементов группы S31'
E
| (12)
| (23)
| (13)
| (123)
| (132)
|
£
| : E
| (12)
| (23)
| (13)
| (123)
| (132)
|
(12)
| (12)
| E
| (123)
| (132)
| (23)
| (13)
|
(23)
| (23)
| (132)
| E
| (123)
| (13)
| (12)
|
(13)
| (13)
| (123)
| (132)
| E
| (12)
| (23)
|
(123)
| (123)
| (13)
| (12)
| (23)
| (132)
| E
|
(132)
| (132)
| (23)
| (13)
| (12)
| E
| (123)
|
') Каждый символ в таблице представляет результат применения сначала операции в верхней части столбца, а затем—в левом конце строки.
1. Результат умножения (т. е. последовательного применения) двух операций (или элементов) группы является элементом группы.
2. Одной из операций группы является тождественная операция Е.
3. Операции, обратные операциям группы, также являются элементами группы.
4. Умножение операций ассоциативно, т. е. результат умножения не зависит от того, как операции объединяются, например:
(12) (123) (23) = (12) [(123)(23)] = ((12)(123)] (23) = Е. (1.46) (12) (23)
В выполнении групповых аксиом 1, 2, 3 и 4 для набора операций (1.45) можно убедиться, проверив таблицу умножения; следовательно, этот набор является группой. Как правило, мы будем заключать элементы группы в фигурные скобки { }.
Эта группа состоит из всех перестановок трех объектов, называется группой перестановок (или симметрической группой) и обозначается символом S3. В группе S3 шесть элементов; в этом случае говорят, что порядок группы равен шести. В общем случае группа перестановок Sn (все перестановки п объектов) имеет порядок п\.
