Макет страницы
Задача 1.6. Докажите, что если AB = E1 т. е. Л-1 = В согласно (1.32), то BA = Е, т. е. В~х = А, если А и В — элементы группы. (Подскажем, что нужно оценить BAB двумя различными способами, используя аксиому 4).
Решение. Тройное произведение BAB можно рассматривать как B[AB] или [ВЛ]В. В первом случае объединенные элементы дают BE = B, так как AB = E, во втором — то же, согласно групповой аксиоме 4, т. е. [BA]B = В. Это верно, только если BA = Е, что и требовалось доказать. Для S3 мы имеем, например,
(123)(132) = (132)(123) = 5. (1.47)
Используя аксиому 4, докажем, что
(ЛВ)-1 = В-1Л-1. (1.48)
Запишем
{AB)(B-1A'1) = A(BB'1) А'1 = AEA'1 = AA'1 = Е, (1.49)
но
(AB)(ABy = E, (1.60)
отсюда
(AB)^ = B-1A"1.
В общем случае операция, обратная произведению операций, является произведением обратных операций, взятых в обратном порядке, например
(ABCDy1 = D-1C-1B-U-1. (1.51)
Задача 1.7. Три элемента группы S3, взятые отдельно, удовлетворяют групповым аксиомам, поэтому они образуют группу. Какие это элементы? Такая группа называется подгруппой группы S3.
Решение. Ясно, что в подгруппе должна быть операция E (аксиома 2). Однако будет ли набор {Е, (12), (23)} подгруппой? Он удовлетворяет аксиоме 3 в соответствии с (1.35) и (1.36). Однако (12)(23) = (123), а (123) не входит в набор, поэтому, согласно аксиоме 1, этот набор не будет группой. Из табл. 1.1 следует, что подгруппой будет {Е, (123), (132)}.
Единственное условие для той части набора элементов группы, которая образует подгруппу, состоит в том, что эта часть должна содержать все произведения его элементов. Подгруппа, рассмотренная в задаче 1.7, имеет порядок, равный трем, и называется абелевой группой, так как умножение в ней коммутативно [см. первое равенство в (1.47)]. Другими подгруппами S3 являются {Е, (12)}, {Е, (23)} и {Е, (13)}, их порядок равен двум, а также {E} с порядком, равным единице.
