Макет страницы
Например, для п — 5 имеем
5=1 + 1 + 1 + 1 + 1, 2+1 + 1 + 1, 3+1 + 1, 4+1, 5,
2 + 2 + 1 или 2 + 3. (4.58)
Следовательно, число разбиений числа пять на целые числа равно семи. Аналогия между этим разбиением числа 5 и видом перестановок каждого из классов в (4.57) очевидна. Так как число неприводимых представлений группы равно числу классов группы, группа S5 имеет семь неприводимых представлений. Аналогичным образом определяется разделение на классы ППИЯ-группы, причем операция Е* образует собственный класс. Например, для ППИЯ-группы молекулы CH3F [см. (2.11)] имеем следующие классы:
E (12) (123) Е* (12)* (123)*,
(23) (132) (23)* (132)*, (4.59)
(13) (13)*,
так что эта группа имеет шесть неприводимых представлений.
Структура классов подгруппы группы перестановок или подгруппы ППИЯ-группы (например, группы MC) определяется не так просто; при этом нужно использовать преобразование (4.47). Однако для абелевых групп умножение коммутативно (см. обсуждение, следующее за задачей 1.7), так что каждый элемент образует свой собственный класс. Когда умножение в пределах группы коммутативно, правая часть (4.47) может быть равна только матрице А, т. е. если А и С коммутируют, то
С~1АС = С~1СА = А. (4.60)
В задаче 1.7 была получена подгруппа {Е, (123), (132)} группы S3. Она является абелевой группой, поэтому каждый из трех ее элементов образует собственный класс. Аналогично группа MC этилена D2n(M) [см. (2.14)] абелева и имеет восемь классов и восемь неприводимых представлений.
Обычно характеры неприводимых представлений групп даются в таблицах характеров. В таблице характеров элементы одного класса группируют вместе, так как все они имеют один и тот же характер в данном неприводимом представлении; в каждом классе дается только один элемент, по при этом указывается число элементов класса. Ниже приведена таблица характеров группы S3, составленная по этому принципу (табл. 4.2); неприводимые представления обозначены Гь Г2 и Г3 в соответствии с применявшимися выше обозначениями. Изоморфные группы имеют одинаковые таблицы характеров; так как группы S3, D3, С3у и C3V(M) изоморфны, все они имеют одну и ту же
