Макет страницы
уравнение Шредингера для атома водорода. Мы проведем замену декартовых координат полярными координатами.
I. Первый метод замены координат состоит в следующем: а) вывод классического гамильтониана в декартовых координатах, б) применение постулатов квантовой механики для получения квантовомеханического гамильтониана и в) замена координат в получающемся уравнении Шредингера.
II. Второй метод замены координат:
а) вывод классического гамильтониана в декартовых координатах, как и выше, б) замена координат в классическом выражении для гамильтониана и в) применение постулатов квантовой механики и преобразования Подольского при замене классического гамильтониана квантовомеханическим в новых координатах.
Оба метода приводят к одному и тому же уравнению Шредингера, но часто, когда гамильтониан зависит от многих криволинейных координат, метод II гораздо быстрее приводит к цели. Заметим, что метод I применялся в гл. 6, когда мы перешли от координат (Xi, Yi, Zi, ..., X/, Y/( Zi) к координатам (X0, Yo, Zo, X2, Y2, Z2, ..., Xi, Yi, Zi), чтобы выделить трансляционную часть гамильтониана [см, формулы (6.2) — (6.18)].
В пространственно-фиксированной системе осей (X, Y, Z) классическая энергия для протона (1) и электрона (2) атома водорода дается варажением
Чтобы применить постулаты квантовой механики для получения квантовомеханического оператора Гамильтона, необходимо представить энергию E в гамильтоновой форме, т. е. выразить ее через координаты и импульсы. Это выражение для E имеет вид
Метод I
E = (X1 + Y? + Zl) + (X* + !I + Zt) -
,2
[(X1 - X2)2 + (Y1 - Y2)2 + (Z1 - Z2)2]'^ •
(7.2)
H =
{Pl1 +
,2у, + я!,)-t
2т2
(PL + #,+ Pl)-
1(X1 - X8)2 + (Y1 - Y2)2 + (Z1 - Z2)2]'/' '
(7.3)