Макет страницы
ответственно; например, уровень 2п относится к типу ео. Волновые функции асимметричного волчка обычно не являются собственными функциями Ja или J0, и поэтому K0 и Kc не являются хорошими квантовыми числами.
Уравнение Шредингера
для гармонического осциллятора
Прежде чем рассмотреть решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, необходимо решить следующую задачу.
Задача 8.4. В уравнении гармонического осциллятора имеются нормальная координата Q и сопряженный с ней импульс P = = —ihd/dQ. Определите величины коммутаторов [P2, Q] и
[Q2. P] •
Решение. Непосредственная операция с коммутаторами дает [P2, Q] = P [P, Q] + [Р, Q]P = P (- ih) + (- ih) P = - 2ihP (8.144) и
[Q2, P] = Q[Q, P] + [Q1 P]Q = Q№ + (ih)Q = 2ihQ. (8.145)
Одномерный гармонический осциллятор
Волновое уравнение для одномерного гармонического осциллятора можно записать в виде
Hvl<bv = Y(P2 + XQ*)Q>0 = Ev00. (8.146)
Чтобы определить собственные функции и собственные значения этого гамильтониана, введем операторы
£+ = (l/V2)(P + a'y2Q) (8.147)
и
R - = (l/V2)(P-a'/zQ). (8.148)
Их коммутаторы с гамильтонианом гармонического осциллятора [согласно уравнениям (8.144) и (8.145) ] равны
[H41, R+] = (1/2 л/2) (a'h [P2, Q] + К [Q2, P]) = hX'lsR+ (8.149) и
[Яу1, R-] = - hX'l2R-. (8.150)
Таким образом, мы видим, что в соответствии с (8.24) и (8.85) в задаче 8.2 R+ является оператором «повышения», a R - — оператором «понижения», так что если
Нп% = Е*Ф°, (8.151)
