Макет страницы
ТО
Hyi [£*Ф0] = (Ex, ± hk''2) [£*(!>„]. (8.152)
Легко видеть, что
H4i = R+R - +у HX''' (8.153)
и
Hvl = R-R+~jfiK'12. (8.154)
Поэтому собственные функции оператора R+R - являются собственными функциями оператора #vi и наоборот. Собственные значения оператора R+R - должны быть действительными и неотрицательными, что сейчас будет показано. Если Ф0 — нормированная собственная функция оператора R+R - с собственным значением а, то
а = J Ф; (R+R~) Ф„ dQ. (8.155)
Это выражение можно переписать в виде
а = J (R-(J)J (R-O0) dQ = (8.156)
= R-QtJdQ, (8.157)
и, следовательно, число а (собственное значение оператора R+R-) должно быть действительным и неотрицательным. Поскольку по определению № является действительной и положительной величиной, собственные значения оператора #vi должны быть действительными и неотрицательными согласно выражениям (8.153) и (8.157). А поскольку собственные значения #V| действительны и неотрицательны, должно существовать минимальное собственное значение, которое обозначим Eq. Собственную функцию, соответствующую этому собственному значению, обозначим Фо. Действие оператора R - на Ф0 должно дать нуль, поскольку не может быть собственной функции, соответствующей более низкому собственному значению. Таким образом, можно записать
R-(D0 = [(- ih/ V 2) д/dQ - i (1/2)'1' Q] Ф0 = 0, (8.158)
что представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка для Фо, решением которого является нормированная функция
Фо = (2%%lh)u exp [- (Xy'l2h) Q2I (8.159)
где фазовый множитель выбран действительным и положительным. Действуя оператором R+ на уравнение (8.158), получаем
£+£-ф0 = 0; (8.160)
