Макет страницы
a M — не унитарная матрица. След матрицы M есть сумма диагональных элементов:
%{м) = £мп=-±=
1
V2
V2".
(4.20)
Определим теперь матричную группу. Матричная группа есть набор квадратных матриц (все матрицы одного-порядка), для которых выполняются групповые аксиомы; в матричной группе операция умножения является матричным умножением, а тождественный элемент есть единичная матрица. В качестве примера приведем набор из шести матриц, составляющих группу двумерных матриц, которую можно назвать группой Г3 (индекс 3 не имеет специального значения, это лишь удобное в данной главе обозначение):
[о l]' [о - l]'
— JL
2
2
Уз
2 2
1
" 2
Уз"
УГ
2 _
Уз
Уз
2
_ J_ 2
_ J-2
Уз~
2
Уз
2
V ~ 2
(4.21)
Читатель может составить таблицу умножения для этой группы и убедиться, что все четыре групповые аксиомы выполняются. Из равенства (4.8) видно, что две последние матрицы в этой группе обратны (или взаимны) одна другой. Первые четыре матрицы в этой группе симметричны и, так как обратные им матрицы равны им самим, являются ортогональными. Поэтому в этой матричной группе все матрицы ортогональны.
Изоморфизм и точные представления
В главах 1 и 3 были введены две группы: S3 (группа перестановок) и D3 (группа вращений и точечная группа). Эти группы вместе с матричной группой Г3 (4.21) будут использованы для объяснения понятия изоморфизма. Можно установить следующее взаимно-однозначное соответствие между элементами групп S3 и D3:
E-E
(HS)-C20, (23)-C24, (13)-¾, (4,22)
(123)- См, (132) - CL.
