Макет страницы
Причина, по которой матрицы в Г3 выглядят более простыми, чем матрицы в новом представлении (4.33), состоит частично в том, что все матрицы в Г3 ортогональны. В общем случае можно выбрать преобразование подобия так, что все матрицы представления станут унитарными; такое представление называется унитарным представлением. В наших приложениях теории представлений к молекулам мы будем всегда использовать унитарные представления.
След матрицы представления называется характером матрицы. Что касается характеров матриц в этом новом представлении, то нужно заметить, что каждая из этих матриц имеет тот же характер, что и соответствующая ей матрица в группе Г3. В качестве упражнения предлагаем читателю показать, что преобразование подобия не изменяет характер матрицы, т. е. что характеры матриц Мг и А~1МГА идентичны. В результате можно убедиться, что эквивалентные представления имеют одинаковые характеры.
Приводимые представления
Другой способ образования нового представления групп S3 и D3 из представлений Гь Г2 и Г3 состоит в образовании их комбинации, которая называется приводимым представлением. Например, комбинируя представления Г2 и Г3, можно образовать следующее приводимое трехмерное представление (где матрицы имеют тот же порядок, что в (4.25)):
1 О О
О 1
О О
о
1J
1 о О -1 LO 0
0 0
-1 J
- 1/2 л/3/2
- д/3"/2 - 1/2 О 0
- 1/2 УЗ~/2 0 д/3~/2 1/2 0 0 0 -1 _
- 1/2 - Уз~/2
- д/з"/2 1/2 0 0
- 1/2 - д/3"/2 0 ~~ л/3~/2 - 1/2 0 0 0 1
0
о -1
(4.35)
Говорят, что каждая из матриц в представлении (4.35) является блочно-диагональной. Блочно-диагональная матрица такова, что ненулевые элементы имеются только в блоках, расположенных вдоль главной диагонали матрицы, каждая матрица в (4.35) состоит из верхнего левого блока размером 2X2
